鸟迹：基本架构¶
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引理
一个群中的单位元唯一。
证明
假设有两个单位元 \(e_1\) 和 \(e_2\)，\(e_1 = e_1e_2 = e_2\)。
引理
群中任一元素的逆元唯一。
证明
对于 \(a \in G\)，假设它有两个逆元 \(a_1\) 和 \(a_2\)，则 \(a_1 = ea_1 = a_2aa_1 = a_2(a a_1) = a_2\)
习题
找到一个无限阶群中的有限阶元素的例子。
证明
一个平凡的例子：任意无限群的单位元的阶是有限的。
一个不那么平凡一点的例子：对于复数和复数乘法构成的群 \((\mathbb{C}, \cdot)\)，单位元是 \(1\)，\(i\) 的阶为 4。
习题
证明：若 \(f: G \to H\) 为一个群同态，那么 \(f(e_G) = e_H\)，\(f(x)^{-1} = f(x^{-1}), \forall x \in G\)。
证明
- \(f(e_G) = f(e_G * e_G) = f(e_G * e_G)\)，因此 \(f(e_G) = e_H\)。
- \(f(e_G) = f(x * x^{-1}) = f(x) * f(x^{-1}) = e_H\)，因此 \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\)。
习题
设 \(f: G \to H\) 为群同态，则 \(\mathrm{ker}(f)\) 和 \(\mathrm{im}(f)\) 都是群，而且 \(\mathrm{ker}(f)\) 在任意内自同构作用下不变。这样在任意内自同构下不变的子群被称为正规子群（normal subgroup），\(N\) 是 \(G\) 的正规子群记作 \(N \triangleleft G\)。
证明
只需证明，\(\forall a \in \mathrm{ker}(f)\) 在任意内自同构 \(\mathrm{ad}_g\) 下 \(\mathrm{ad}_g(a) \in \mathrm{ker}(f)\)。
习题
我们要证明：如果群 \(G\) 的内自同构群 \(\mathrm{Inn}(G)\) 是循环群，那么它一定是平凡的（即单元素群）。
- 证明：如果 \(\mathrm{Inn}(G)\) 是非平凡的，那么 \(G\) 一定是非交换的；
- 证明：如果 \(\mathrm{Inn}(G)\) 是循环群，那么 \(G\) 一定是交换的；（提示：选出生成元）
- 证出题干中的结果。
证明
- 如果 \(G\) 是交换的，对于任何内自同构 \(\mathrm{ad}_g = id_G\)，即 \(\mathrm{Inn}(G)\) 是平凡的
- 对于任意 \(a,b \in G\) 可以表达为 \(a = z_1 g^n\) 和 \(b = z_2 g^m\)。容易验证 \(ab = ba\)。（也可以利用下述的 \(G/Z(G) \cong \mathrm{Inn}(G)\)）
- 由上述 1 和 2 的结论是显然的
习题
考虑群同态 \(f: G \to H\)，\(G / \mathrm{ker}(f)\) 诱导的等价关系一定满足相容性条件。
证明
我们从等价关系的定义出发，这意味着 \(x = x^\prime h_1\) 和 \(y = y^\prime h_2\)
因此我们只需说明 \(xy = x^\prime h_1 y^\prime h_2 \stackrel ? = x^\prime y^\prime h_3\)，由 \(\mathrm{ker}(f)\) 在内自同构下的不变性，进行改写 \(h_1 = y^\prime h_3 y^{\prime-1}\) 即可。
这种相容性可以写成 \((xH) \cdot (yH) = (xy)H\)
习题
证明：若 \(G\) 为一群，则 \(Z(G)\) 为其正规子群，\(G / Z(G) \cong \mathrm{Inn}(G)\)
证明
考虑映射 \(f \colon G \to \mathrm{Inn}(G)\)，我们知道对于 \(\forall g \in Z(G)\)，\(\mathrm{ad}_g = \mathrm{id}_G\).
因此 \(\mathrm{ker}(f) = Z(G)\)，由群的第一同构定理，\(G/Z(G) \cong \mathrm{Inn}(G)\)
习题
用正合列的方式表示 \(f: G \to H\) 为单同态、满同态的条件。
证明
单同态：\(1 \to G \stackrel f \to H\) 满同态: \(G \stackrel f \to H \to 1\)
习题
证明商群具备以下泛性质：
其中 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群，\(i\) 为包含映射，\(\pi\) 为典范投影。从 \(1\) 出发的映射都是平凡的。图意为，对于任意 \(G'\)，存在唯一同态 \(G/H \to G\) 使得上图交换，即任意一列起终点相同的的映射复合相同。
证明
考虑映射 \(\phi : G \to G'\) 且 \(H \subseteq \mathrm{ker}(f)\)。定义 \(\tilde{\phi} : G/H \to G'\) 为 \(\tilde{\phi}(gH) = \phi(g)\)。容易验证以下几点：
- \(\tilde{\phi}\) 良定义且是是群同态
- \(\tilde{\phi} \circ \pi = \phi\)
- 这个函数被交换的要求唯一确定
习题
证明第二同构定理：设 \(N \triangleleft G\), \(H\) 为 \(G\) 的子群，则 \(N \cap H \triangleleft H\)，而且 \(H / (N \cap H) \cong NH / N\)。
有一种图像表示可以方便地记住这个定理，而且和后面 Galois 理论中域扩张的图恰好一致：
证明
我们需要先说明先证明定理是良定义的，即 \(N \cap H \triangleleft H\) 以及 \(N \triangleleft NH\)
再来看同构，考察映射 \(f \colon H \to HN/N\)，\(\mathrm{ker}(f) = N \cap H\)。 考察 \(NH/N\)，其中的元素是 \(hN\) 的形式。令 \(f(h) = hN\)，这是一个满射，由第一同构定理，\(\mathrm{ker}(f) = \{h\in H \mid hN = N\} = N \cap H\)，这个证明可以结合图示理解。
习题
证明：如果 \(K\) 是 \(H\) 的子群，\(H\) 是 \(G\) 的子群且 \(K \triangleleft G\)，则 \(K \triangleleft H\)，图示如下：
证明
由正规子群的定义显然，说明 \(K\) 在 \(H\) 上的内自同构变换下不变即可。
习题
证明第三同构定理：\(K \triangleleft H \triangleleft G\)，则 \(H/K\) 是 \(G/K\) 的正规子群，且 \((G/K)/(H/K) \cong G/H\)，图示如下：
证明
首先说明定理是良定义的，即 \(H/K \triangleleft G/K\)
再来看同构，考察映射 \(f \colon G/K \to G/H\)，令 \(f(gK) = gH\)，这是一个满射。
由于 \(\mathrm{ker}(f) = \{gK \mid f(gk) = H\} = \{gK \mid g \in H\} = H/K\)。由第一同构定理，\((G/K)/(H/K) \cong G/H\)。
习题
证明这个结果（H. B. Mann）：设 \(G\) 为有限群，\(S\)，\(T\) 为它的两个非空子集，则要么 \(G = ST\)，要么 \(|G| \geqslant |S| + |T|\)。
证明
只需一些简单的组合即可证明。记 \(S^{-1} = \{s^{-1} \mid s \in S\}\)，我们可知 \(|S| = |S^{-1}|\)。
不失一般性，当 \(|G| \geqslant |S| + |T|\) 不成立时，由抽屉原理，\(S^{-1} \cap T \ne \emptyset\)，因此 \(1 \in ST\)。
类似地，对于任意的 \(g \in G\)，\((gS)^{-1} \cap T \ne \emptyset\)，因此 \(g \in ST\)，因此 \(G = ST\)。
习题
证明乘积公式（product formula）：若 \(H\) 和 \(K\) 均为 \(G\) 的子群，则 \(HK\) 也是 \(G\) 的子群，而且：
证明
\(HK = \cup_{h \in H} hK\)，因此我们考察 \(K\) 的陪集数量。
\(h_1K = h_2K \iff h_2^{-1}h_1 \in K\)，因此 \(h_2^{-1}h_1 \in H \cap K\)，从而 \(h_1K\) 对应的陪集有 \(|H \cap K|\) 种表达方式
因此 \(|HK||H \cap K|\) = \(\frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|\)
习题
证明：若 \(H\) 是 \(G\)的子群，且 \([G: H] = 2\)，则 \(H \triangleleft G\)。[^13]
证明
我们证明左右陪集相等 \(aH = Ha\)。假如 \(a \in H\)，这是平凡的，否则若 \(a \not \in H\)，\(G = H \sqcup aH = H \sqcup Ha\)，所以 \(aH = Ha\)。
习题
证明：交换群的所有子群都是正规的。这个命题的逆命题是假的，举反例说明之。（提示：四元数群）
证明
命题是显然的，来看逆命题。
四元群 \(\{1,-1, i, -i, j, -j, k,- k\}\) 且 \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\) 非 Abel 群。
习题
证明对应定理（correspondence theorem），这是第三同构定理的一个推广：设 \(K \triangleleft G\)，\(\pi: G \to G/K\) 是典范投影，则 \(H \mapsto H/K\) 是一个从包含 \(K\) 的所有子群构成的集合到所有 \(G/K\) 的子群的集合，则 \(H_1 / K\) 是 \(H_2 / K\) 的子群当且仅当 \(H_1\) 是 \(H_2\) 的子群，而且 \([H_2 : H_1] = [H_2 / K : H_1 / K]\)。
证明
证明 \(\colon H \mapsto H/K\) 建立起了 \(G\) 的包含 \(K\) 的子群和 \(G/K\) 子群的一一对应，设这个映射为 \(\phi\)。
先证明 \(\phi\) 是单的，\(H_1/K = H_2/K\) 当先仅当 \(H_1 = H_2\)；再证明 \(\phi\) 是满的，我们考察 \(G/K\)，它由 \(K\) 的陪集组成，这些陪集构成群的子群，一定含有 \(K\)，对应的群 \(H\) 是 \(G\) 的子群且包含 \(K\)。
更进一步，可以证明三条性质：
- \(K \leqslant H_1 \leqslant H_2 \iff H_1/K \leqslant H_2/K\)，证明思路可参考思考证明 \(\phi\) 为满的部分
- \(H \triangleleft G \iff H/K \triangleleft G/K\)（第三同构定理是良定义的）
- 如果 \(H_1 \triangleleft H_2\)，则 \((H_2/K)/(H_1/K) \cong H_2/H_1\) （第三同构定理）
习题
证明以下结论（Zassenhaus）：设 \(G\) 为一个有限群，存在整数 \(n\) 使得 \(\forall x, y \in G, (xy)^n = x^n y^n\)。记 \(G[n] = \{g \in G: g^n = 1\}\)，\(G^n = \{g^n : g \in G\}\)，则 \(G[n]\) 和 \(G^n\) 都是 \(G\) 的正规子群，且 \(|G^n| = [G : G[n]]\)
证明
考虑映射 \(\phi \colon G \to G^n\)，定义 \(\phi(g) = g^n\)，由于 \(\forall x,y \in G, (xy)^n = x^n y^n\)，\(\phi\) 是一个群同态。
知 \(\mathrm{ker}(\phi) = G[n]\)，因此 \(G[n]\) 是正规子群，且 \(G/G[n] \cong G^n\)，因此 \(|G^n| = [G : G[n]]\)。
再来看 \(G^n\)，\((aga^{-1})^n = ag^ng^{-1}\)，因此 \(G^n\) 是正规子群
习题
称一个正规子群 \(H \triangleleft G\) 是极大的，如果不存在包含 \(H\) 的正规子群。证明：\(H\) 是 \(G\) 的极大正规子群当且仅当 \(G/H\) 的正规子群只有 \(1\) 和它自身。像这样正规子群只有 \(1\) 和自身的群被称为单群（simple group）。
证明
由对应定理以及推论，\(H \triangleleft G \iff H/K \triangleleft G/K\)，结论是显然的。