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阶：从 Lagrange 到 Sylow

约 3881 个字 预计阅读时间 13 分钟

通过少数几例枚举武断地下结论往往会将我们引入歧途。（Bertrand Russell）

本节我们的动机是从陪集出发的。上一节中已经给出了陪集的基本定义，而且注意到了陪集正好将群划分成了一族等价类。那么，很自然的想法就是，如果想要得到群元素的个数，那么不妨将每个等价类的个数相加。这种想法之所以可能，是因为我们有以下事实：

引理

设 \(G\) 为一群，\(H\) 为其子群且 \(g \in G\)。映射 \(H \to gH, h \mapsto gh\) 为一双射。

证明

观察到它的逆就是 \(h \mapsto g^{-1}h\) 即可。

Lagrange 定理

因此，我们发现，所有陪集具备相同的元素个数，群 \(H\) 的解整除群 \(G\) 的阶。记 \([G : H] = |G| / |H|\)，称之为 \(H\) 在 \(G\) 中的指标（index），这是一个非常重要的结果，叫做 Lagrange 定理：

定理

\(|G| = [G : H] |H|\)

下面一个推广留给读者自行证明：

习题

若 \(H\) 是 \(G\) 的子群，\(K\) 是 \(H\) 的子群，则：

\[ [G : K] = [G : H][H : K] \]

这类定理往往是非常有用的，因为它能够表明一个群的子群至多有哪几种。例如，如下的结果非常重要：

命题

素数阶群一定是循环群。

证明

素数阶群的子群要么是单元素群，要么还是素数阶群。考虑元素 \(g \neq e\)，则它的生成的循环群1一定与原群同阶，也就是说，这个循环群就是原群。

而且：

习题

所有同阶的循环群都是同构的。

所以就有：

命题

所有 \(p\) 阶群同构，如果 \(p\) 为素数。

这是一个很重要的结果，它标志着在对群进行分类的过程中，素数阶群可以起到一个基准的作用，因为只要告诉你它的阶，它就在同构意义下唯一确定了。但是，为了更好地分类一个群，我们要定义群在集合上的作用的概念。

群作用，及其组合应用

群在一个集合上的作用（action）可以看成上述陪集概念的推广：

定义

群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的左作用为一个映射 \(-.-: G \times X \to X\)，满足：

  • \(\forall g, h \in G, x \in X, g.(h.x) = (gh).x\)。出于这种原因，在不引发混淆时，往往把 \(.\) 省略。
  • \(e \in G, \forall x \in X, e.x = x\)。

称带有 \(G\) 作用的集合 \(X\) 为 \(G\)-集（G-set）。如果 \(G\) 集之间的映射 \(f: X \to Y\) 是等变的（intertwining），即满足

\[ f(g.x) = g.f(x), \forall g \in G, x \in X \]

则称它是一个 \(G\) 集同态。如果它有一个逆映射也是等变的，那么称其为一个 \(G\) 集同构。

事实上，这就是在上一节中刻意绕开了的所谓对称作用的含义：对称作用无非是群在一个点集上的作用。下面的几个定义是直观的：

定义

若 \(X\) 为一 \(G\)-集，则：

  • 称 \(X^G = \{x \in X: \forall g \in G, gx = x\}\) 为不动点集（fixed point）。
  • 称 \(Gx = \{gx : g \in G\}\) 为代表元 \(x\) 的轨道（orbit）。
  • 称 \(\mathrm{Stab}_G(x) = \{g \in G : gx = x\}\) 为轨道 \(Gx\) 上的稳定化子（stablizer）。

我们可以想象一个集合 \(X\) 在 \(G\) 的作用下发生某种变换，其中在各种变换下保持不动的点就是不动点，某个点在各种变换下所能抵达的所有位置就是轨道，在一个轨道中，那些没有使代表元发生变化的变换就是轨道上的稳定化子。还有一个比较方便的看法是把它柯里化：作用无非是一族从 \(G\) 到 \(X \to X\) 的映射的映射，而不动点集和轨道正是这样一族映射的映射的两种截面。注意到，稳定化子正好是一个子群。

那么，如何理解它和陪集的关系呢？我们考虑子集 \(H\) 在群 \(G\) 上的右作用2：

\[ h \mapsto m_h, m_h(g) = gh, \forall h \in H, g \in G \]

这时我们就看的清楚了，左陪集无非是右作用的轨道，而右陪集则是左作用的轨道。这样的视角在表示论中尤为有用，在此只需有个直观感受即可。

因此，下面的结果证明起来应当不难，只是陪集中相应概念的推广：

习题

证明：\(X\) 正好被分解成 \(Gx\) 的无交并。

习题

证明：\(G / \mathrm{Stab}_G(x) \to Gx\) 是 \(G\)-集同构。因此，\(|X| = \sum_x[G : \mathrm{Stab}_G(x)]\)。

习题

证明：\(\mathrm{Stab}_G(gx) = g\mathrm{Stab}_G(x)g^{-1}\)，即下图交换：

这预示着 \(\mathrm{Stab}_G\) 具备某种意义上的“函子性”。

对于证明 Sylow 定理，即本节的最终目标而言，这两个命题已经足够了。但是，我们会发现将其切到 \(\mathrm{Stab}_G(x)\) 有点切得太细了，以至于很难指出什么组合学的应用，因为算这个太麻烦了。在解决 Sylow 定理之后，我们会回头来处理一些组合问题，不妨稍作等待。

\(p\)-群的结构和 Sylow 定理

Sylow 定理处理的是 \(p\)-子群的问题，而 \(p\)-群不过是前述素数阶群的推广：

定义

设 \(p\) 为一素数，若群 \(G\) 满足 \(|G| = p^m, m \in \Z\)，则称 \(G\) 为一 \(p\)-群。

不难发现，\(p\)-群的子群和商群还是 \(p\)-群。对于一个群 \(G\)，和素数 \(p\)，在 Lagrange 定理的约束下，其 \(p\)-子群的最大阶数当然是 \(p^m\)，其中 \(m\) 为使得 \(p^m \vert n, p^{m+1} \not \vert n\) 的整数。这个阶数的子群称为 Sylow \(p\)-子群。

当然，这样的子群看起来不一定存在（参见后文逆 Lagrange 定理一节，Lagrange 定理的逆命题不成立）。而 Sylow 第一定理就保证了它的存在性：

定理

对于任意素数 \(p\) 和有限群 \(G\)，Sylow \(p\)-子群存在。

证明

下面这个证明来自 H. Wielandt，转引自李文威老师的书，非常优雅，但是并不容易想到，另有他证，谷歌都是。

取 \(p^m\) Sylow \(p\)-子群的解，不妨设 \(m \geqslant 1\)，否则这个子群就是平凡的。接下来令：

\[ Y = \{E \subseteq G: |E| = p^m\} \]

也就是所有这么大的 \(G\) 的子集的集合，我们下面要表明，里面会有一个是子群，这个就是我们要找的 Sylow \(p\)-子群。

注意到，\(Y\) 中的元素个数一共有

\[ \binom{n}{p^m} \]

个，这个数不能被 \(p\) 整除（用二项式定理证明它！）。考虑群 \(G\) 在 \(Y\) 上的左作用将 \((g, E)\) 映到 \(gE\)，那么由前面的轨道分解公式，存在 \(E \in Y\) 使得 \(p \not \vert\ [G : \mathrm{Stab}_G(E)]\)。我们断言，\(H = \mathrm{Stab}_G(E)\) 就是我们要找的 Sylow \(p\)-子群。

因为 \(p \not \vert \ [G : H]\)，所以当然 \(p^m \vert \ |H|\)。由稳定化子的性质，\(\forall g \in E, Hg \subseteq E\)，而且 \(|H| = |Hg|\)，故 \(H \leqslant p^m\)，\(|H| = p^m\)，明所欲证。

接下来我们要表明这个 Sylow \(p\) 子群何时正规，为此，首先需要对内自同构做一些考察，因为这是正规子群定义之源。回顾群作用一节最后一道习题做的事，给出的交换图已经暗示了，\(\mathrm{ad}_g\) 也是群 \(G\) 上的一个作用，它一般被称为共轭作用。我们因此可以推广得到这样的定义：

定义

设 \(S, T\) 为 \(G\) 的两个子集，称 \(S\) 和 \(T\) 共轭，如果：

\[ \exists g, S = gTg^{-1} \]

既然这是个同构，那么很自然的推论就是，两个共轭的集合具备相同的元素个数，这是不言自明的。

事实上，现在我们相当于在 \(\mathcal{P}(G)\)3 上给出了一个作用 \(\mathrm{ad}_g\)，自然的，所有与集合 \(S\) 共轭的子集就构成了轨道 \(GS\)，其上的稳定化子当然也就是：

\[ \mathrm{Stab}_G(S) = \{g \in G: gSg^{-1} = S\} = \{g \in G: gS = Sg\} \]

因为它和正规子群之间显见的联系，这也被称为是正规化子（normalizer），记作 \(N_G(S)\)。显然，正规子群的正规化子就是整个群 \(G\)，可以说，它就是一个子群（子集）距离正规子群“有多少距离”的度量。更简单的视角是注意到群作用的第二个习题，\(G / N_G(S) \cong GS\)，当 \(S\) 是正规子群时，轨道 \(GS\) 事实上就是平凡的。

接下来，对 Sylow 第二定理的证明就顺理成章了：

定理

令 \(G\) 为有限群，\(p\) 为素数，\(G\) 中存在正规的 Sylow \(p\)-子群当且仅当 \(G\) 有唯一的 Sylow \(p\) 子群。

证明

Sylow 第一定理业已表明 Sylow \(p\)-子群的存在性。在此，我们先选定 Sylow \(p\)-子群 \(H\)，其在共轭作用下的轨道 \(GH\) 中的每个元素都是 Sylow \(p\)-子群。如果 Sylow \(p\)-子群唯一，则当然就说明 \(H\) 是正规的。

反过来，我们发现，这些 Sylow \(p\)-子群的稳定化子群都是相同的。而且 \(H \subseteq N_G(H)\) 也成立。另取 \(Q \subseteq N_G(H)\)，则由第二同构定理（见上节补充习题），有 \(QH / H \cong Q / Q \cap H\)。因此 \(QH\) 仍然是 \(p\)-群。又因为 \(H\) 和 \(Q\) 都是 Sylow \(p\)-子群，则 \(HQ = Q = H\) 成立。

事实上，准反向的推导之精要，就可以得到 Sylow 第三定理：

习题

证明以下结果：

  1. 如果 \(G\) 是非平凡 \(p\)-群，则任意 \(G\)-集 \(X\) 都满足 \(|X| \equiv |X^G|\ \mathrm{mod}\ p\)；
  2. 任意 \(p\)-子群 \(H\) 都含于某个 Sylow \(p\)-子群；
  3. （Sylow 第三定理）\(G\) 中 Sylow \(p\)-子群的个数模 \(p\) 余 \(1\)。

这里我们的思路基本上沿用了李文威老师的书，但是做了一些改写。在一般的教科书中，对 Sylow 定理的介绍往往还会啰嗦一点，下面我们给出的几个命题亦常用于讨论之中，在此留做习题。

习题

  1. 考虑 \(\mathrm{ad}_g\) 的不动点集是什么？
  2. 前已述及，\(G/Z(G) \cong \mathrm{Inn}(G)\)，从上述共轭作用的视角解释这个命题；
  3. 证明，若 \(G\) 为非平凡的 \(p\)-群，则 \(Z_G\) 亦非平凡；
  4. 设 \(G\) 为 \(p\)-群，\(H \subsetneq G\)，则 \(H \subsetneq N_G(H)\)；
  5. 承 4，\((G: H) = p\) 蕴含 \(H \triangleleft G\)；（提示：应用 3 的结果进行递推）
  6. （Cauchy）设 \(G\) 为有限群，\(p\ |\ |G|\)，则存在 \(x \in G\) 使得 \(|x| = p\)。

作为这一节的收尾，我们考虑怎么用 Sylow 定理及其相关的思路来研究群的结构。

习题

  1. 证明，一个 \(pq\) 阶的交换群一定是循环群，其中 \(p\) 和 \(q\) 均为素数 \(q > p\)，且 \(q \not \equiv 1 \ \mathrm{mod}\ p\) ；（提示：Cauchy 或者 Sylow，Cauchy 写出来更简洁）
  2. 证明，\(p^2\) 阶群一定是交换群，而且只有两种；（提示：反证法）
  3. 证明，\(2p\) 阶群只有两种；（提示：有一个二阶子群，有一个正规的 \(p\) 阶子群，那么怎么构造它们“乘”起来的结果呢？）
  4. 求所有可能的 \(8\) 阶群；（提示：一共五个）
  5. 求所有非交换的 \(12\) 阶群；（提示：一共三个）

这部分习题比较困难，但确实可以做。需要的背景除了已经介绍的以外，可能还需要群直积和群的半直积的相关知识。这些东西为了内容的连贯性我们会置于群结构基本定理处进行介绍，读者不妨自己先尝试查找一下资料，或者干脆将这些习题中的后三道题搁置到那之后。

这些习题当然就是这么困难。因为群结构过于简单，关于它的研究反而长期以来都不容易。对于一些特殊阶群，这样的组合方法当然还是可以的，但是对于一些高阶的奇怪东西，处理起来就会非常麻烦。这时，群表示论的工具就会派上用场——等待并心怀期待吧，直到那里，现代的群论工作才真正拉开帷幕。

组合学：Burnside, Pólya 和循环指标

这一部分并不是群论的重点。但是，如前所述，群作用自然给出了一个很好的进行组合学操作（事实上，还有几何学操作）的平台。因此，对于对称的东西，应用群论的计数方法也是常见的。在这里，笔者仅以习题的方式给出主要结论和一些应用，供有兴趣的读者参考。

在以下的习题中，\(G\) 指的均为有限群。

Info

这里还没写完

补充习题

这也是一些还蛮重要的结果。因为群论的教材可谓汗牛充栋，其结果也众多，笔者亦并非在写一本完全关于群论的专著。所以，总会有一些东西放在习题当中。其中的部分习题可能会相当困难，如果读者写不出来，不妨看看 @floatshadow 贡献的参考答案，我们将其附在全书末尾。

习题

证明：记 \(|G|\) 的最小素因数为 \(p\)，则群 \(G\) 中的任意 \(p\) 阶子群都是正规子群

习题

证明：设 \(H\) 为 \(G\) 的子群，\(1 < [G: H] \leqslant 4\)。则除非 \(|G| \leqslant 3\)，否则 \(G\) 不可能是单群。

习题

证明：\(p\)-群中的 \(p\)-阶正规子群一定含于其中心。

习题

证明：设 \(G\) 为有限群，\(H\) 为其子群，\(P\) 为 \(H\) 的一个 Sylow \(p\)-子群，则存在 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群 \(Q\) 满足 \(P = Q \cap H\)。

习题

证明：设 \(G\) 为有限群，\(N \triangleleft G\)，如果 \(P\) 是 \(G\) 的一个 Sylow \(p\)-子群，则 \(P \cap N\) 也是 \(N\) 的一个 Sylow \(p\)-子群。举反例表明当 \(N\) 不是正规子群时，此命题不成立。

习题

证明：没有小于六十阶的单群。

习题

证明：\(p^2 q\) 阶群中存在一个正规的 Sylow \(p\)-子群，其中 \(p\)，\(q\) 为相异素数。

习题

考虑 \(H\) 为 \(G\) 的子群。称 \(S\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的一个截线（transversal），如果 \(S\) 包含 \(H\) 的每个人陪集中的恰一个元素。证明：若 \(G = HS\) 且 \(H \cap S = 1\)，则 \(S\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的一个截线。称满足这个条件的子群 \(S\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的补（complement）4。

习题

（Frattini）设 \(N \triangleleft G\) 且 \(P\) 为 \(N\) 的 Sylow p-子群，则 \(G = N_G(P)N\)。

习题

（Schur-Zassenhaus）设 \(K\) 为 \(G\) 的一个交换的正规子群，则 \(K\) 在 \(G\) 中存在补，且所有的补集都共轭。（提示：无非是 Sylow 定理的推广，应用类似上述 Frattini 定理的群作用即可）

习题

（Gaschütz）设 \(K\) 为 \(G\) 的一个交换正规子群，\(H\) 为 \(G\) 的一个子群，满足 \(K\) 是 \(H\) 的子群且 \(|K|\) 和 \([G: H]\) 互素，则：

  1. 如果 \(K\) 在 \(H\) 中有补，则 \(K\) 在 \(G\) 中也有补；
  2. 如果 \(H_0\) 和 \(H_1\) 都是 \(K\) 在 \(G\) 中的补，满足 \(H_0 \cap H = H_1 \cap H\)，则 \(H_0\) 和 \(H_1\) 在 \(G\) 中共轭。

习题

记 \(O_p(G)\) 为 \(G\) 的所有 Sylow \(p\)-子群的交，则：

  1. 设 \(S\) 为 \(G\) 的非平凡子群且 \([G: S] = p + 1\)，则 \(O_p(G)\) 非平凡或者 \(p + 1 = q^r\)，\(q\) 为素数。
  2. （Brodkey）设 \(S\) 是 \(G\) 的交换子群，\(O_p(G)\) 是平凡的，则存在 \(g \in G\) 使得 \(S \cap g^{-1}Sg = 1\)。

  1. 由某个元素 \(a\) 生成的循环群就是指所有形如 \(a^p, p \in \Z\) 的元素构成的群，记作 \(\langle a \rangle\)。 ↩

  2. 右作用当然与左作用对称咯，当然，注意结合律的时候它是右结合的。这里我们特意把它写成了 \(G\) 上的映射的形式，方便读者后续和内自同态的定义进行比较。 ↩

  3. 指 \(G\) 的幂集，即其所有子集构成的集合。 ↩

  4. 这里没有与补集混淆之虞，因为集合意义上子群的补不可能是子群。 ↩

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