跳转至

扩张：从群构造群

约 1427 个字 预计阅读时间 5 分钟

你买来石头、木头或者混凝土，将它们建成房子或宫殿，这是建筑，当然也需要一些聪明才智。忽然，你触动了我的心，让我受到感动。我很高兴，说这很美，这是建筑。这时，艺术的要素就渗入其中了。（Le Corbusier, Towards an Architecture）

在第一节中，我们业已提及群同态基本定理和正合列的因素。如果我们有正合列：

\[ 1 \to N \to G \stackrel p \to H \to 1 \]

其中 \(N\) 和 \(H\) 已知。我们要提出的问题是，能否构造这样的一个 \(G\)，使得 \(H \cong G / N\)？所谓的群扩张（group extension）就是这个含义：从 \(H\) 通过 \(N\) 扩张得到 \(G\)，它经典范投影 \(p\) 可以投回到 \(H\) 上。我们所谓的群扩张就是上述的正合列。

而所谓群扩张的等价亦不难直接作图表明：

其中横行均为群扩张，我们就称 \(\varphi\) 是群扩张的等价。第一个观察是五引理（five lemma）的一个特例：

定理

群扩张的等价 \(\varphi\) 一定是一个群同构。

证明

首先证明它是单的。取 \(g \in \mathrm{ker}(\varphi) \subset G\)，则 \(\varphi(g) = 1_{G'}\)。由于群同态保单位元，注意到 \(p(g) = p'(\varphi(g)) = 1_{H}\)，因而存在 \(n \in N, i(n) = g\)。随后立得 \(i'(n) = \varphi(i(n)) = 1_{G'}\)，因而 \(n = 1_{N}\)，\(g = i(1_N) = 1_G\)。因此 \(\mathrm{ker}(\varphi) = \{1_G\}\)，\(\varphi\) 是单射。

接下来表明它是满射。取 \(g' \in G'\)，则由于 \(p\) 是满射，存在 \(g \in G\) 满足 \(p(g) = p'(g') = p'(\varphi(g))\)。因此，我们找到 \(p'(g')p'(\varphi(g)^{-1}) = 1_H = p'((g')\varphi(g)^{-1})\)。由正合性我们知道存在 \(n \in N\) 使得 \(i'(n) = (g')\varphi(g)^{-1}\)。因此，再利用交换图的性质，取 \(\tilde g = i(n)g \in G\)，满足 \(\varphi(\tilde g) = \varphi(i(n))\varphi(g) = i'(n)\varphi(g) = g'\)。因此，\(\varphi\) 是满射。

这种证明策略被称为图追踪（diagram chasing）。我们通过观察已经给出的交换图，逐一对照着找到一个变元对应的在另一个对象中的变元长什么样，然后靠交换性寻找相等关系。这种证明在同调代数等地方会发挥相当重要的作用。作为一个演练，读者可以尝试证明五引理，其证明方法基本上和上面给出的证明如出一辙，但是需要再多绕几下：

习题

证明四引理（four lemma）：对于下面的交换图

其中每行均正合，以下命题成立：

  1. 如果 \(\varphi_1\) 为满射，\(\varphi_2\) 和 \(\varphi_4\) 为单射，则 \(\varphi_3\) 为单射；
  2. 如果 \(\varphi_4\) 为单射，\(\varphi_1\) 和 \(\varphi_3\) 为满射，则 \(\varphi_2\) 为满射。

习题

证明五引理：对于下面的交换图

其中上下所有行列均正合，则 \(\varphi_3\) 为同构。（提示：可以直接证明，也可应用两次四引理）

不过，接下来我们并不会直接在正合列上进行操作，因为这样的操作毕竟比较麻烦，我们会首先给出一点构造，然后再讨论它在正合列上表达了什么，直到最后再在正合列上完整地实现我们的结果。

群的直积和半直积

注意到，我们要给出的是 \(G\)，它满足 \(H \cong G/N\)。从这种最形式的记号可以发现，我们已经有了“商”和“除数”，那么，最自然的构想就是，我们要找的东西无非是“被除数”，用某种意义上的“乘法”给出。而在群上，最自然的乘法当然也就是笛卡尔积——这是将它视作一个集合时理所当然的构造。当然，我们要考虑的是如何保下群比其集合多出来的乘法。

定义

设 \(I\) 为指标集，考虑一族群 \(G_i, i \in I\)，在作为集合的笛卡尔积 \(\prod_{i \in I} G_i\) 上，可以定义群结构如下：

\[ (x_i)_{i \in I} (y_i)_{i \in I} = (x_i y_i)_{i \in I} \]

其中 \((x_i)_{i \in I}\) 表示一列以 \(I\) 为指标的群元素，\(x_i \in G_i\)，称其为群的直积（direct product）。

这样的群结构有不言自明的单位元和逆的定义。比较有意思的是，它具备以下泛性质，读者当不难自己证明：

习题

证明：对于任意群 \(G'\) 和一族群同态 \(\varphi_i: G' \to G_i\)，存在唯一 \(\varphi: G' \to \prod_{i \in I} G_i\) 使得下图交换

其中 \(\pi_i\) 指的是取第 \(i\) 个分量，即投影。

习题

尝试用表达出它的对偶构造直和1 \(\coprod_{i \in I} G_i\)，即将交换图中所有箭头逆转得到的构造。（提示：这个时候我们需要对这列群元素施加限制，在 \(I\) 有限时，也很容易发现它无非就是直积）

关于群直积的结构，我们需要介绍两个引理：

引理

（Goursat）

  1. 有的教材可能会说，因为交换群，能记作和，所以把交换群的直积叫做直和，这奇奇怪怪的说法也不知道是从哪来的。这里我们的处理方式事实上应该叫它余积（coproduct），在范畴论的视角下，积和余积的构造是非常关键的。当然，因为历来也有不少地方，例如 S. Lang 的经典教材将其称作直和，在这里我们先沿用这个称谓。 ↩

评论