拓扑空间的定义和例子

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前面已经述及，拓扑空间定义的发展来源于度量空间，我们在此会以 D. McLaury 的一个 Reddit 评论为蓝本，从实数和连续性的概念出发对其进行引入。

实数域上的开闭区间的定义想必不用详述，我们需要反思的是连续性的定义：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 在点 \(x_0\) 是连续的，如果 \(f(x_0) = \lim_{x \to x_0}f(x)\)。

第一步，我们要把其中的极限写开：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 在点 \(x_0\) 是连续的，如果：

\[ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 \ \forall x, 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \]

希望读者对这样的写法不要感到过于不适。稍微思考一下就会发现，去心邻域的心在这里完全可以补上，然后写成开邻域的形式：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 在点 \(x_0\) 是连续的，如果：

\[ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 \ \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta), f(x) \in (f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon) \]

下面要考虑的事情可能稍微有点跳跃。这时我们想把 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 删掉。这时，我们用“某点附近的邻域”来代替原来半径的描述：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 在点 \(x_0\) 是连续的，如果：

\[ \forall I\ \exists J \ \forall x \in J, f(x) \in I \]

其中 \(J\) 为 \(x_0\) 附近的开邻域，\(I\) 为 \(f(x_0)\) 附近的开邻域。

下一个观察是，我们不妨直接定义函数的连续性，把 \(x\) 扔掉。这时，我们先把原本的定义改写一下：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 是连续的，如果：

\[ \forall I\ \forall x_0: f(x_0) \in I\ \exists J \ \forall x \in J, f(x) \in I \]

其中 \(J\) 为 \(x_0\) 附近的开邻域。

前面被整理出来的这个东西完全可以被视作某种意义上的原像：

定义

\(f^{-1}(I) = \{x_0: f(x_0) \in I\}\)

利用这种记法再改写证明：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 是连续的，如果：

\[ \forall I\ \forall x_0 \in f^{-1}(I)\ \exists J, J \subseteq f^{-1}(I) \]

其中 \(J\) 为 \(x_0\) 附近的开邻域。

再把最后的这个东西理出来：

定义

称 \(\R\) 上的一个集合 \(S\) 是开集，如果 \(\forall s \in S\) 都有一个完全含于这个集合的开邻域。

因此连续性的定义就明白了，只需要用开集替代原来的 \(I\) 作为开邻域的论域，因为以后邻域也要用开集来定义：

定义

称函数 \(f: \R \to \R\) 是连续的，如果 \(\forall I\) 为开集，\(f^{-1}(I)\) 为开集。

好，现在我们有了充分的动机去讲开集进行推广，因为推广开集就意味着推广了连续性的概念。先考虑实数上的开集的性质：

命题

\(\varnothing\) 和 \(\R\) 都是开集；

命题

任意开集的并都是开集；

命题

有限开集的交都是开集；

习题

给出一个反例，有限开集的交不是开集。

这三个性质应当是一般的微积分课都会提及的，在此不做证明。因此我们说，定义一族满足这三条性质的集族就是定义了一个拓扑（topology）：

定义

设 \(X\) 为一个集合。其上的一个拓扑 \(\mathcal T \subseteq \mathcal P(X)\) 为一族满足以下三条性质的集合：

1. \(\varnothing \in \mathcal T, X \in \mathcal T\)；
2. \(\mathcal T\) 中任意个集合的并集仍在 \(\mathcal T\) 中；
3. \(\mathcal T\) 中有限个元素的交集仍在 \(\mathcal T\) 中。

我们称赋予了拓扑 \(\mathcal T\) 的集合 \(X\) 为一个拓扑空间（topological space），称 \(\mathcal T\) 中的元素为开集（open set）。如果一个集合的补集在 \(\mathcal T\) 中，则称其为闭集。包含某点的开集称为某点的开邻域。

根据我们上面给出的整个构造思路，实数集上一般所谓的开集可以被看成一个拓扑，这个拓扑被称为常见拓扑（usual topology），当然，还有离散拓扑，它只有 \(\varnothing\) 和 \(\R\) 两个元素，不难验证它满足我们定义的三条性质。

一些例子

一个很重要的拓扑空间是 Sierpinski 空间（或者叫联通两点集）\(\Sigma\)。它在集合 \(\{0, 1\}\) 上，其上的拓扑定义为 \(\{\varnothing, \{1\}, \{0, 1\}\}\)。

另一个重要的例子是偏序集上的拓扑。考虑 \(P\) 为一个偏序集，其上的开集定义为所有上封闭集（upwards-closed*¹）。这种拓扑被称为特化拓扑（specialisation topology，或者 Alexandroff 拓扑）。很容易看出，Sierpinski 空间上的拓扑也就是一种特化拓扑。

下面这个习题刻画了 Sierpinski 空间的某种“泛性质”：

习题

1. 证明：对任意带拓扑 \(\mathcal T\) 的拓扑空间 \(X\)，所有从 \(X\) 到 \(\Sigma\) 的连续映射 \(C(X, \Sigma)\) 与 \(\mathcal T\) 之间存在一一对应；
2. 称拓扑空间 \(X\) 为拓扑空间 \(Y\) 的子空间，如果 \(X \subseteq Y\) 且任一 \(X\) 中的开集 \(U\) 都能被写成 \(V \cup X\) 的形式，其中 \(V\) 为 \(Y\) 上的开集。证明，这个定义等价于在下图中任意 \(\varphi\) 都能找到 \(\psi\) 使得其交换。其中 \(i\) 为包含映射。

下面的两个例子会显得非常奇怪：

定义

考虑交换环 \(R\)。\(I\) 为 \(R\) 中的理想，\(\mathcal V(I)\) 为 \(R\) 中所有含有 \(I\) 的素理想。以所有形如这样的集合作为闭集，我们可以得到 Zariski 拓扑，它是在 \(\mathrm{Spec}(R)\) 上的拓扑。

下面的练习要求读者证明它是一个拓扑：

习题

1. 证明：\(\mathcal V(I) = \varnothing \iff I = R\)；
2. 证明 \(\mathcal(0) = \mathrm{Spec}(R)\)
3. 证明：\(\mathcal V(I) \cup \mathcal V(J) = \mathcal V(IJ)\)；
4. 证明：\(\mathcal V(I) \cap \mathcal V(J) = \mathcal V(I + J)\)；
5. 将 3 的结果推广到任意个理想；
6. 证明 Zariski 拓扑满足拓扑的定义。

这个看起来已经有点绕了？确实，它缺乏很好的性质，而且套娃有点深：\(\mathrm{Spec}(R)\) 已经可以看成集合的集合，而其上定义的拓扑已经是“集合的集合（\(\mathcal V(I)\)）的集合”了，这就让这个定义看起来颇为费解。

再下面这个结果没那么抽象，但是证明起来颇为头疼，也留作练习，读者不妨自行查找资料完成。在后面介绍完范畴论的结果之后，这类构造将能够被以一种简单的方式表达出来。

习题

设 \(K | F\) 为一个 Galois 扩张，记所有作为 \(F\) 的有限 Galois 扩张的中间域为 \(\mathcal F\)，定义 \(\mathrm{Gal}(K | L), L \in \mathcal F\) 构成的集合为 \(\mathcal N\)，很容易看出它们都是 \(\mathrm{Gal}(K | F)\) 的子群。证明，其上的一个拓扑（称为 Krull 拓扑）可以被定义为所有形如 \(\cup_i g_iN_i, g_i \in \mathrm{Gal}(K | F), N_i \in \mathcal N\) 的集合的集合。

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1. 星号的意思是，本该在第二章介绍，但因为第二章没写，所以在这里先注明。 ↩

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