范畴、函子、自然变换

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有一瞬间，妈妈看到了山而没有想到伐木，没有想到滑雪胜地和雪崩，被驯服的野生动物，板块构造地质学，微气候，雨影，或阴阳的位置。她看到了没有语言框架的山。没有联想的牢笼。她看到了山，但不是通过她所知的一切关于山的真实事物的透镜。她在那一瞬间看到的甚至不是一座“山”。它不是一个自然资源。它没有名字。（C. Palahniuk, Choke）

帕拉尼克在本段中所描绘的“山”，抛却了一切山与外部世界的关系。当我们谈论范畴时，我们尝试探讨的东西与之恰好相反：抛弃那些东西的本来面目，只留下其间的关系和几个轮廓性的框架。限制它“是什么”的性质用以将其与其它东西区分，而它的内容则不再重要。这就是本文想要传达的基本框架。

本文大概是一切介绍范畴学之著作避不开的老生常谈，但笔者希望能使它变得更有意思一点。因此，我们首先排除掉 MacLane 为表述此花费的众多元语言笔墨，直面范畴的定义。在有必要的时候，我们将重返那些更加 meta 的话题。

定义

我们称如下一些资料为一个范畴（category）\(\mathcal C\)：

• 一族¹对象（objects）\(\mathrm{Ob}(\mathcal C)\)；
• 对于 \(\mathrm{Ob}(\mathcal C)\) 中的任意元素 \(x, y\)，一族态射（morphism） \(\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x, y)\)。

我们要求以下两种映射存在：

• 复合映射：

\[ \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x, y) \times \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(y, z) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x, z) \]

满足结合律；

• 单位映射：

\[ \ast \to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x, x) \]

满足单位性。²

称一个范畴是局部小的（locally small），如果其中所有态射的族都是集合；称一个范畴是小的（small），如果它是局部小的且其对象构成集合。

好，这就是特别简单的定义。小和局部小的概念暂且不用担心，因为在前面部分我们碰到的例子多数不会大于集合的集合，它们也暂且不会产生问题。以后我们将 \(x \in \mathrm{Ob}(\mathcal C)\) 简记作 \(x \in \mathcal C\)，在不引起误解的情况下，将 \(f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x, y)\) 简记作 \(x \stackrel f \to y\) 或者 \(f: x \to y\)。下面的练习³将表明，我们能够“单凭态射”定义出范畴来：

习题

考虑一族 \(\mathrm{Hom}\)，满足以下性质：

1. 存在 \(\alpha, \omega: \mathrm{Hom} \to \mathrm{Hom}\)；
2. 对于 \(\omega(f) = \alpha(g)\) 的 \(f, g \in \mathrm{Hom}\)，存在复合运算 \(\mathrm{Hom} \times \mathrm{Hom} \to \mathrm{Hom}: (g, f) \mapsto g \circ f\)。

我们要求以下条件成立：

1. \(\omega^2 = \alpha \omega = \omega, \alpha^2 = \omega\alpha = \alpha\)；
2. \(\alpha(g \circ f) = \alpha(f), \omega(g \circ f) = \omega(g)\)；
3. \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)；
4. 若 \(f = \alpha(f) = \omega(f)\) 则 \(f \circ g = g \circ f = g\)。

试表明，这样的定义与原来的定义等价。

当然，正如我们已经多次暗示的，集合作为对象，函数作为态射构成一个范畴，我们记其为 \(\mathsf{Set}\)⁴。很显然，这是一个局部小的范畴，但不是小的。另外常见的例子还有，群范畴 \(\mathsf{Grp}\)，阿贝尔群范畴 \(\mathsf{Ab}\)，环范畴 \(\mathsf{Rng}\) 和交换环范畴 \(\mathsf{CRng}\)，其上的态射都是对应的同态；偏序集范畴 \(\mathsf{Pos}\) 和全序集范畴 \(\mathsf{\Delta}\)，其上的态射为保序映射；拓扑空间范畴 \(\mathsf{Top}\)，其上的态射为连续函数。其它平凡的例子会在用到时介绍。

这里我们需要介绍一下切片范畴，留心的读者会注意到，这是一个非常眼熟的图表：

定义

考虑范畴 \(\mathcal C\)，\(C \in \mathcal C\)。切片范畴（slice category，或 comma category 逗号范畴）\(\mathcal C / C\) 的对象为所有形如 \(D \to C\) 的态射，其上的态射定义为使得下图交换的态射 \(h\)：

读者不妨尝试表明这是一个范畴。

在本章开始的时候，我们已经提到了一个自由构造的问题。为了描述一个自由构造，我们发现它都是将一个范畴的对象放到另一个范畴中去，这就引发了函子的概念：

定义

考虑范畴 \(\mathcal C, \mathcal D\)。函子（functor）⁵ \(F: \mathcal C \to \mathcal D\) 意指以下资料：

• 对象间的映射 \(F: \mathrm{Ob}(\mathcal C) \to \mathrm{Ob}(\mathcal D)\)；
• 态射间的映射 \(F: \mathrm{Hom}_\mathcal C(x, y) \to \mathrm{Hom}_\mathcal D(Fx, Fy)\)，保复合和单位映射。

我们还可以用函子的语言推广切片范畴的定义：

定义

考虑函子：\(\mathcal A \stackrel F \to \mathcal C \stackrel G \leftarrow \mathcal B\)。我们定义切片范畴 \(F / G\) 的对象为形如 \((A, B, FA \stackrel f \to GB)\) 的三元组，其上从 \((A, B, f)\) 到 \((A', B', f')\) 的态射为使得下图交换的态射对 \((g, h)\)：

习题

寻找范畴 \(\mathcal A\) 和函子 \(F, G\) 使得下面的定义能够退化为上面的定义。

习题

试描述恒同函子 \(\mathcal C \stackrel {\mathrm{id}_{\mathcal C}} \to \mathcal C \stackrel {\mathrm{id}_{\mathcal C}} \leftarrow \mathcal C\) 的切片范畴 \({\mathrm{id}_{\mathcal C}} / {\mathrm{id}_{\mathcal C}}\)的结构。（提示：它被称为 \(C\) 的箭头范畴）

注意，我们在范畴中讨论两个东西相同，只有它们在字面意义上相同。因此，没有两个态射能被视作“相同”的，除非它们“就是”一个态射。而函子给了我们一种操作余地，使得两个态射之间的关系能被言明。接下来的自然变换的目的则是言明函子之间的关系。

定义

函子 \(F, G: \mathcal C \to \mathcal D\) 之间的自然变换（natural transformation） \(\theta\) 是一族态射 \(\theta_X: FX \to GX\) 使得下图对所有 \(\mathcal C\) 中的态射 \(X \stackrel f \to Y\) 交换：

记作 \(\theta: F \to G\)。

我们也将自然变换图示为：

这个结构往往也被称为 2-胞腔（2-cell）。与之对应的，函子则可以被视作 1-胞腔。对于这些术语，在讨论 2-范畴及以上的结构时会用到，在此不做解释。

自然变换的操作有纵合成和横合成，纵合成是简单的：

合成为：

横合成则将

合成为：

我们请读者证明这样一个合成的结合性作结，横纵结合都以 \(\circ\) 记，但应无混淆之虞：

习题

证明：对于以下交换图

我们有：

\[ (\varphi' \circ \theta') \circ (\varphi \circ \theta) = (\theta' \circ \theta) \circ (\varphi' \circ \varphi) \]

也就是说，横纵合成的顺序不影响结果。

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1. 这里的首要目的是安慰那些集合论学家：哈，不是集合，不要担心罗素悖论。如果你对此感到不满，核心的处理方式是引入大基数公理：对于任意基数 \(\kappa\) 都能找到一个不可达基数 \(\kappa'\) 满足 \(\kappa' > \kappa\)。所谓的不可达基数指的是所有自己及成员基数都小于 \(\kappa'\) 的集合都满足 ZFC 公理系统。通过这种方式构建层垒宇宙。参见 Markus Land 的论述。MacLane 和李文威老师的教材都是直接引入宇宙，笔者更偏好这种在 ZFC 外添加大基数公理的手段，尽管两者本质上并无不同。 ↩

2. \(\ast\) 指单元素集。 ↩

3. 来自 Gelfand 的同调代数方法第二章习题 1。 ↩

4. 我们以后通常用花体记某个范畴变元，以圆体记某个特定范畴。 ↩

5. 早些时候这玩意往往被称为协变函子（covariant functor，或共变函子），还有对应的逆变函子（contravariant functor，或反变函子）将态射反向。本文遵循近来的趋势，不再使用这类术语。 ↩