一点拓扑¶
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本章介绍
本章讨论的内容看起来可能有点跑题。拓扑这种所谓“形体”的信息跟代数似乎毫无相关，但是，它也是。这里的目标是：
- 快速度过点集拓扑的基本概念，展现一些按照泛性质定义的东西在拓扑中也类似存在；
- 进入代数拓扑的范围，一方面将前面提到的代数方法（主要指第一章）广泛应用下去，另一方面为后面的范畴论提供必要的土壤；
- 展现拓扑在算法中的应用，尤其是图论作为拓扑的一个分支来呈现；
- 应用拓扑方法对代数进行考察，这可能会延续到下一章去，我们讨论的问题是，怎么给代数结构赋予拓扑，以及这种拓扑能怎么反过来促进我们的研究。
在本章中有经验的读者要注意的有两个东西。一个是排中律（Law of Excluded Middle），一个是选择公理（Axiom of Choice）。在讨论“无穷”的情形时，这些东西会如鬼魅般挥之不去，而又饱受争议。当然，对于初学者来说，接受它们是一种很简单的方法，我们也不会将它们的处理作为重点讲述。
拓扑学事实上是一个比较新兴的分支，可以说，很多最基础的概念才刚刚过完它们的百岁生日。但是，拓扑学笑话早就在民间广为流传，最有名（但不怎么好笑的）大概是拓扑学家分不清甜甜圈和咖啡杯。如果要用布尔巴基式的方式来表述，拓扑也是一种为集合赋予结构的方式。它的诞生大概源于对集合上的距离的观察，而其成熟之后却彻底抛下了距离的概念，用一个集合的幂集上的示性函数界定自身。但是，如果你在前进的过程中发现任何费解之处，不妨回到实数集上来，看看实数或者复数能带来哪些启发。这在整个章节（以及很多后面的内容）中都是一种非常重要的方法。