李群与李代数¶

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课程笔记来源于 2023 年春田昉旸老师开设的课程，使用的参考资料为：

[Kna] Lie Groups Beyond an Introduction, A. Knapp, Progress in Mathematics Vol 140

[Var] Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, V.S. Varadarajan, GTM 102

[Sep] Compact Lie Groups, M. Sepanski, GTM 235

[Hel] Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, S. Helgason, American Mathematical Society, 2001;

有限群论（尤其是代数方程的 Galois 群相关的理论）主要研究的是离散空间中的对称性。为了将这种对称性推广到连续空间，我们需要给出一个“连续”的群结构，也就是说，光滑流形 + 群结构的组合体。这种结构被我们称为李群（Lie groups）。

我们研究的对象是李群 \(G\) 在光滑流形 \(M\) 上的作用，这种作用事实上就表征了流形 \(M\) 的对称性。但是由于 \(M\) 和 \(G\) 往往都具备比较复杂的结构，尝试刻画这种作用往往是困难的。为此，通常采用两种径路来实现这种刻画。

注意到，欧氏空间是最简单的微分流形。因此，直接考虑李群 \(G\) 在向量空间上的作用，即李群 \(G\) 的表示即可给出关于群结构的刻画；
为了把流形 \(M\) 的结构也纳入考量范围，而流形 \(M\) 的结构又往往是复杂的，但 \(C^\infty(M)\) 却具备着线性的良好结构。因此，考虑 \(G\) 在 \(M\) 上的作用诱导的 \(G\) 在 \(C^\infty(M)\) 上的作用：\((g\cdot f)(m) = f(g^{-1}(m)), g \in G, f \in C^\infty(M), m \in M\)。利用对这个作用的刻画反过来获得对原作用的刻画。

注意到，在 1 中探讨的线性空间还是有限维的，而在 2 中，函数空间显然就是无穷维的。因此，讨论这种情形下的表示论时，将不可避免地需要处理无穷维的情形，这时分析学的工具将非常有意义。

刻画一个群结构的困难性往往在于，它既不是线性的，也往往是非交换的。为了处理这类问题，往往采用线性化或者交换化的思想，这里主要使用了线性化：通过群表示将群上的非线性结构转化为李代数这种线性结构的表示，因此，课程前半部分的主题是李代数及其表示。

考虑 \(G\) 在 \(M\) 上的作用是传递的（transitive），如果 \(H\) 为稳定化子，显而易见地 \(M \simeq G / H\)。为 \(G / H\) 赋 Riemann 流形的结构，考虑 \(H\) 为 \(G\) 的对称子群，则 \(G / H\) 可以视作一个对称空间（symmetric space）。最经典的对称空间的例子是矩阵群 \(GL_n\) 商掉它的极大紧子群 \(O_n\) 得到的，它的性质比较平凡，但是，考虑一般清零，比如 \(G = GL_{2n}, H = GL_n\)，这时刻画 \(G / H\) 的结构就会变得非常复杂，其原因在于，\(M\) 和 \(G\) 都不使劲的。这种刻画在上世纪九十年代已经被给出，但不拟在本课程中详叙。

更进一步地，考虑更广范围的子群。取 \(H\) 为 \(G\) 的球形子群（spherical subgroup），则 \(G\) 在 \(L^2(G/H)\) 中的作用是怎样的？这是一个尚且开放的问题。因为 \(G/H\) 此时不再具备 Riemann 流形的结构，对此种结构的研究更多地来自于数论的推动而非微分几何。

本课程中只简化考虑 \(H\) 为紧群的情形，取 \(G = H \times H\) 当然也是紧的，作对角嵌入（diagonal embedding） \(H \to G: h \mapsto (h, h)\)，注意到 \(M = G / H \simeq H\)，我们需要讨论的就是 \(H\) 在 \(L^2(H)\) 上的作用，这是 9-12 周讨论的问题。第 13 周及以后则着重讨论对称空间的内容，主要参考资料是 [Hel]。