单子论和 Beck 单子性定理¶
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本节是在看 Abstract Stone Duality 的时候想到来补个课的，主要内容来自于李文威老师的《代数学方法》。
定义
幺半范畴（monoidal category）意指一组资料 \((\mathcal V, \otimes, a, 1, \iota)\)，其中 \(\mathcal V\) 为一个范畴，\(\otimes\) 为双函子，\(a(X, Y, Z): (X \otimes Y) \otimes Z \stackrel{\sim}{\to} X \otimes (Y \otimes Z)\) 被称为结合约束，\(1 \in \mathcal V\) 为幺元，\(\iota: 1 \otimes 1 \stackrel{\sim}{\to} 1\) 是对应的约束。我们要求，结合约束满足以下所谓 MacLane 五角形公理：
注意，这里所谓的 MacLane 五角形公理不过是为了使得结合约束可以反复套用的相容性条件。结合约束和幺元的约束事实上表明了“同构”与“相等”在范畴论的意义上是有显著差异的。
一个典型的例子是自函子范畴 \(\mathcal C^{\mathcal C}\)，其中的双函子（“乘法”）是函子的合成运算，幺元是恒等函子。而为了定义单子，我们需要将代数的概念推广到幺半范畴上：
定义
幺半范畴 \(\mathcal V\) 上的代数指资料 \((A, \mu, \eta)\)，其中 \(A \in \mathcal V\)，\(\mu = \mu_A: A \otimes A \to A\)，\(\eta = \eta_A: 1 \to A\)，使得下列图表交换：
其中的 \(\mu\) 可视作乘法运算，\(\eta\) 可视作幺元。因为它要求乘法结合律和幺元，有的地方也将其称为幺半群。
定义
范畴 \(\mathcal C\) 上的单子（monad）无非是幺半范畴 \(\mathcal C^{\mathcal C}\) 上的代数；对偶地，\(\mathcal C^{\mathrm{op}}\) 上的单子称为 \(\mathcal C\) 上的余单子（comonad）。
注意到函子范畴 \(\mathcal C^{\mathcal C}\) 是一个严格的幺半范畴，因为结合律是严格的，所以不再需要结合约束，我们可以简单地将其翻译成以下定义：
定义
范畴 \(\mathcal C\) 上的的单子是资料 \((T, \mu, \eta)\)，其中 \(T: \mathcal C \to \mathcal C\) 是函子，\(\mu: T^2 \to T\) 和 \(\eta: \mathrm{id}_\mathcal{C} \to T\) 是态射，使得下图交换：
余单子 \((L, \delta, \varepsilon)\) 的定义是对偶的。
注意到，伴随对和单子之间有如下关系：
命题
考虑一对伴随函子：
相应的单位 \(\eta: \mathrm{id}_{\mathcal C} \to GF\) 和余单位 \(\varepsilon: FG \to \mathrm{id}_{\mathcal D}\)。则可定义 \(\mathcal C\) 上的单子：
和 \(\mathcal D\) 上的余单子：
证明
简单验证即可。验证需要用到代数学方法卷一的引理 2.2.7。
回顾一下到此为止我们的定义。单子是自函子范畴上的代数，这就意味着单子事实上就是一个自函子，这个自函子作用在原来的范畴 \(\mathcal C\) 上。所以，下面的思路，是要探讨在范畴 \(\mathcal C\) 中在单子 \(T\) 作用下的模。
定义
设 \((T, \mu, \eta)\) 为范畴 \(\mathcal C\) 上的单子。则所谓 \(T\)-模指资料 \((M, a)\)，其中 \(M \in \mathcal C\)，\(a \in \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T(M), M)\) 使得下图交换：
与一般的模类似地，它也能构成一个范畴。其中的态射定义不妨类比表示同态的定义方式：
定义
所有 \(T\)-模可以构成范畴 \(\mathcal C^T\)，其中的态射为 \(\mathcal C\) 中使得下图交换的态射 \(f: M \to M'\)：
同理可以定义 \(L\)-余模，对应的 \(L\)-余模范畴记作 \(\mathcal C^L\)。当然，类似一般的模，也可以做自由函子和忘却函子。忘却函子 \(U^T: \mathcal C^T \to \mathcal C\) 将对象 \((M, a)\) 映到 \(M\)，而自由函子的定义稍微复杂一点：
定义
设 \((T, \mu, \eta)\) 为 \(\mathcal C\) 上的单子，定义函子 \(\mathrm{Free}^T: \mathcal C \to \mathcal C^T\)：
验证它与 \(U^T\) 伴随是容易的。注意到这个伴随对在 \(\mathcal C\) 上确定的单子正好就是 \((T, \mu, \eta)\)。对偶地，\(\mathcal D\) 上的余单子也可以类似的给出伴随对。
考虑一个伴随对，应用函子的过程可以理解为一个“丢失信息”的过程。下面我们要考虑将函子拆成一个忘却函子和另一个函子：
引理
考虑伴随对 \((F, G)\) 给出的单子 \(T\) 和余单子 \(L\)。设 \(N \in \mathcal D\)，则可以定义资料
于是给出函子 \(\mathbb{K}: \mathcal D \to \mathcal C^T\) 满足 \(G = U^T\mathbb K\)。对偶地，\(F\) 也可以被对偶地分解为 \(U^L\mathbb K\)
证明
简单验证交换性和函子性即可。
这样的分解的目标就在于，可以注意到结构是否只被忘却函子丢失。如果是如此的话，那么就可以通过单子或者余单子来重构过程中丢失的信息。于是下面的定义就显得理所应当了：
定义
考虑一对伴随函子 \(F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D: G\)，以此定义 \(\mathcal C\) 上的单子 \(T\) 和 \(\mathcal D\) 上的余单子 \(L\)。如果上面的引理构造的函子 \(\mathbb{K}: \mathcal D \to \mathcal C^T\) 是一个范畴等价，那么称 \((F, G)\) 是单子的；如果对偶版本 \(\mathbb{K}: \mathcal C \to \mathcal D^L\) 是范畴等价，那么称这个伴随对是余单子的。
接下来的 Beck 单子性定理（又称 Barr-Beck 定理）刻画了单子性。为了描述它，我们还要给出一点定义：
定义
称函子 \(F\) 是保守的（conservative），如果态射 \(f\) 为同构当且仅当态射 \(Ff\) 为同构。
显然，保守函子是保余极限的。
定义
考虑下列图表使得实线部分交换：
而且 \(h\) 和 \(v\) 各自有虚线所示的右逆 \(s\) 和 \(t\) 满足 \(sh=ut \in \mathrm{End}(B)\)。称词实线部分图为分裂叉（split fork）。
注意到这样的图表与余等化子的类似性。事实上，这样的分裂叉就已经给出了 \(u\) 和 \(v\) 在 \(\mathcal C\) 中的余等化子。
命题
如上图，\(Z\) 就是 \(f\) 和 \(g\) 的余等化子。
证明
我们验证余等化子的泛性质。考虑如下图表：
如果存在 \(\varphi\) 使得 \(\varphi h = k\)，则 \(\varphi = \varphi hs = ks\)。反过来，置 \(\varphi = ks\)，则 \(\varphi h = ksh = kut = kvt = k\)。
另外，分裂叉在任意函子下的像仍然是分裂叉，这是非常容易验证的。
定义
考虑函子 \(G: \mathcal D \to \mathcal C\) 和 \(\mathcal D\) 的一对态射 \(f, g: X \rightrightarrows Y\)，如果存在 \(h: G(Y) \to Z\) 使得：
是 \(\mathcal C\) 中的分裂叉，则称 \((f, g)\) 为 \(\mathcal D\) 中的 \(G\)-分裂对。
一个分裂对使得 \((Gf, Gg)\) 有余等化子。那么，我们的问题是，能否将其提升为 \((f, g)\) 的余等化子，以及此种提升是否唯一。注意到，忘却函子 \(U^T\) 是保守的。因此，下面这个引理很符合我们的直觉：
引理
考虑 \(\mathcal C\) 上的单子 \((T, \mu, \eta)\)，则函子 \(U^T\) 能够给出 \(U^T\)-分裂对的余等化子。
证明
考虑 \(\mathcal C^T\) 中的一对态射 \(u, v: (M, a) \rightrightarrows (M', a')\) 和 \(\mathcal C\) 中的分裂叉：
下面我们的问题只剩下了表明 \(M''\) 可以唯一扩充为 \((M'', a'') \in \mathcal C^T\) 并且说明这给出了 \(u\) 和 \(v\) 在 \(\mathcal C^T\) 中的余等化子。注意函子 \(T\) 不影响分裂叉，\(T\) 作用之后的结果 \(T(M'')\) 仍然是余等化子，因此泛性质可以给出唯一的 \(a''\)。接下来，验证 \((M'', a'')\) 是 \(T\)-模，以及在 \(\mathcal C^T\) 中验证余等化子的泛性质即可。
终于，我们可以描述 Beck 单子化定理：
定理
设函子 \(G: \mathcal D \to \mathcal C\) 有左伴随 \(F\)，以下陈述等价：
- 伴随对 \((F, G)\) 是单子的；
- \(G\) 对所有 \(G\)-分裂对都给出相应的余等化子；
- \(G\) 是保守的，而且所有 \(G\)-分裂对在 \(\mathcal D\) 中都有余等化子。
此时，\(\mathbb K: \mathcal D \to \mathcal C^T\) 的一个拟逆函子 \(\mathbb L\) 可以被描述为以下余等化子图表：
其中 \((M, a)\) 为一个 \(\mathcal C\) 上的 \(T\)-模。
对于余单子而言，判断完全是对偶的。
证明
由于 \(G = U^T\mathbb K\)，关于忘却函子的引理直接表明了 1 \(\implies\) 2。由于 \(U^T\) 保守，所以 \(G\) 显然保守，2 \(\implies\) 3 成立。3 \(\implies\) 2 由保守函子保余极限的性质成立。2 \(\implies\) 1 只需证明如上构造的拟逆成立即可。
下面这个引理给出了一个余等化子的构造：
引理
设函子 \(G: \mathcal D \to \mathcal C\) 有左伴随 \(F\)，并且 \(G\) 对于所有 \(G\)-分裂对都能给出相应的余等化子，则下图给出余等化子：
其中 \(N \in \mathcal D\)。
证明
对图表取 \(G\)，则我们得到一个取单子为 \(\mathbb{K}(N)\) 的情形的分裂叉：
利用它给出余等化子即可。
应用这个引理和 Beck 单子性定理，得到推论：
命题
若 \((F, G)\) 是单子的，那么图表：
对所有 \(N \in \mathcal D\) 都是余等化子。