量子编程（Maksim Dimitrijev） Lecture 1

在近二十年间，出现了两种量子计算的主要范式。一种是量子门编程模型（gate-based model of quantum computing），也叫通用量子计算（universal quantum computing）；另一种是量子退火方法（quantum annealing），也叫绝热量子计算（adiabatic quantum computing）。从数学角度上看，这两种模型具备同等的计算能力，但在实践上，两者有显著的不同。

前两次讲座主要介绍量子门编程模型，第一次讲座的内容包括量子比特（quantum bits, qubits）和量子门（quantum gates）、以及量子电路（quantum circuits）。

量子比特和量子门

正如经典计算机一样，量子计算机也一样由门电路构成，不过其用来表示信息的单元为量子比特而非高低电平，其运算模块为量子门而非数字电路的逻辑门。

单个的量子比特

单个量子比特为计算的基本单元，处在 $0$ 和 $1$ 的叠加状态（superposition）之中。我们可以使用类似描述振幅的方式去描述一个量子比特 $|\psi\rangle$：

$$|\psi\rangle = \psi_0|0\rangle + \psi_1|1\rangle = \big ( \begin{matrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{matrix} \big )$$

其中 $\psi_0$ 和 $\psi_1$ 均为复数。可以将 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 理解成一组基：

$$|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \newline 0 \end{bmatrix} \newline |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \newline 1 \end{bmatrix}$$

这两个复数需要满足归一化条件：

$$\langle \psi \vert \psi \rangle = |\psi_0|^2 + |\psi_1|^2 = 1$$

因此，我们可以表明，

$$\exists \theta \in [0, \pi], \mathrm{s. t.} |\psi_0| = \cos \frac{\theta}{2}, |\psi_1| = \sin \frac{\theta}{2}$$

因为全局相位对其状态无影响，我们可以不失一般性地令

$$\psi_0 = \cos \frac \theta 2 \newline \psi_1 = e^{i\phi}\sin \frac \theta 2$$

其中 $\phi \in [0, 2\pi)$ 表示复系数之间的相对相位。

基于这些特性，我们可以在 Bloch 球面中表达一个量子比特，如下图：

其中的 $r^x, r^y, r^z$ 可以以投影的方式给出：

$$\mathbf r = \begin{bmatrix} r^x \newline r^y \newline r^z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi \newline \sin\theta\sin\phi \newline \cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle\psi|\sigma^x|\psi\rangle \newline \langle \psi|\sigma^y|\psi\rangle \newline \langle \psi|\sigma^z|\psi\rangle \newline \end{bmatrix}$$

其中 $\langle\psi|\sigma|\psi\rangle = \vert \psi \rangle^\dagger \sigma \vert \psi \rangle$，其中 $A^\dagger$ 表示 $A$ 的共轭转置，$\sigma^x$，$\sigma^y$，$\sigma^z$ 为 Pauli 矩阵：

$$\sigma^x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \newline 1 & 0 \end{bmatrix}, \sigma^y = \begin{bmatrix} 0 & -i \newline i & 0 \end{bmatrix}, \sigma^z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \newline 0 & -1 \end{bmatrix}$$

关于 Bloch 球面，在第十讲中会有更详尽的叙述。需要注意，在进行测量时，一个量子比特会坍缩到 $0$ 或者 $1$ 的定态，其测量结果为 $0$ 的概率为 $|\psi_0|^2$，为 $1$ 的概率为 $|\psi_1|^2$。

量子门

量子门可以看作是对 $|\psi\rangle$ 在 Bloch 球面上的旋转操作，事实上就是一些 $2 \times 2$ 的酉矩阵。基于 Pauli 矩阵我们可以很方便的构造出绕坐标轴旋转的 Pauli 门：

$$R^x(\theta) = e^{-\frac{i\theta\sigma^x}{2}} = \begin{bmatrix} \cos \frac \theta 2 & -i\sin\theta 2 \newline -i\sin \frac\theta 2 & \cos \frac \theta 2 \end{bmatrix} \newline R^y(\theta) = e^{-\frac{i\theta\sigma^y}{2}} = \begin{bmatrix} \cos \frac \theta 2 & -\sin\theta 2 \newline \sin \frac\theta 2 & \cos \frac \theta 2 \end{bmatrix} \newline R^z(\theta) = e^{-\frac{i\theta\sigma^z}{2}} = \begin{bmatrix} e^{-\frac{i\theta}{2}} & 0 \newline 0 & e^{\frac{i\theta}{2}} \end{bmatrix} \newline$$

在实际的实现中，只会实现部分基本旋转，然后将其组合起来以实现真正的旋转门。例如，IBM Q 实现了 $R^x(\frac\theta 2)$ 和 $R^z(\theta)$。

可以按照如下公式组合形成能够完成绕任意轴旋转的旋转门，其中 $\vec n$ 是旋转轴的单位向量：

$$R^{\vec n}(\theta) = e^{-\frac{i\theta\vec n\vec \sigma}{2}} = I\cos\frac \theta 2 - in_i\sigma^i\sin \frac \theta 2$$

其中 $I$ 为恒等矩阵，$i = x, y, z$

还有其他常用的门，罗列如下：

$$X = \sigma^x, Y = \sigma^y, Z = \sigma^z \newline H = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \newline 1 & -1 \end{bmatrix}, T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \newline 0 & e^{\frac{i\pi}{4}}\end{bmatrix}, S = T^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \newline 0 & i\end{bmatrix}$$

其中比较重要的是 $X$ 门，又称 $NOT$ 门、翻转门（flipping gate）；$H$ 门被称为 Hadamard 门，$T$ 和 $S$ 为相移门。

多个量子比特的情形

在具备多个量子比特的情况下，只需要由 Kronecker 积（张量积，tensor product）将它们组合起来即可。我们首先构造这样一组基：

$$|q_0q_1q_2\dots q_{n-1}\rangle = |q_0\rangle \otimes |q_1\rangle \otimes |q_2\rangle \otimes \dots \otimes|q_{n - 1}\rangle$$

其中 $q_i = 0, 1$，可以发现，$q_0q_1\dots q_{n-1}$ 是一个大小在 $0$ 到 $2^n - 1$ 之间的数 $j$ 的二进制表示。记 $|q_0q_1…q_{n-1}\rangle = |j\rangle$，于是可以将一个 $n$ bit 的系统表示为 $\sum\limits_{j}\psi_j|j\rangle$。

涉及多个量子比特的门同样可以用 Kronecker 积表出，记 $U_i$ 为只对第 $i$ 个比特做 $U$ 操作的门，则：

$$U_i = |q_0q_1\dots q_{i-1}\rangle U(q_i) |q_{i+1}q_{i+2}\dots q_{n-1}\rangle$$

则很显然可以得出：

$$U_i =\underbrace{\overbrace{I \otimes I \otimes \cdots \otimes I}^{i-1\text{个}} \otimes U \otimes I \otimes I \cdots \otimes I}_{n\text{个}}$$

当使用多个量子比特的系统时，很显然我们不只是想操作其中的某一个比特，而是要对其中的比特进行关联的操作，例如，当某比特为某状态时，对另一比特做某操作。受控的量子门（Controlled-U gate）就实现了这一点：

$$CU_{i_1i_2}|q_0q_1\dots q_{n-1}\rangle = \begin{cases} |q_0q_1\dots q_{n-1}\rangle, & q_{i_1} = 0 \newline |U_{i_2}|q_0q_1\dots q_{n-1}\rangle, & q_{i_1} = 1 \end{cases}$$

一个暂时用不上的附注：在做 $CU$ 门运算之后，全局相位会变为相对相位。

常见的多比特门如下：

$$CNOT = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\newline 0&1&0&0\newline 0&0&0&1\newline 0&0&1&0 \end{bmatrix}, CZ = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\newline 0&1&0&0\newline 0&0&1&0\newline 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$$

读者不难自证，它们之间存在如下联系：

$$CNOT = (I\otimes H)CZ(I \otimes H)$$

量子电路及其编程

量子电路的结构类似下图：

上图表示的是量子电路中的一个 2 位半加器，最左边将几个比特初始化，从左向右依次由不同的量子门对每个比特进行处理，最终结果输出在右侧。

在实际用 Python 进行编程时，一般使用 qiskit 作为电路前端，后端模拟器有以下三种选择：

• qasm_simulator：初始值全 $0$，无噪声影响下的测量结果；

• statevector_simulator：在测量导致量子态坍缩之前的直接计算结果；

• unitary_simulator：给出计算过程的酉矩阵。