抽象代数续论笔记 02 一些可解群、有限单群分类与范畴
第二次课延续了上一次课的内容，首先介绍了一些关于可解群的结论和有限单群分类的大致思路，然后开始范畴论部分，这一部分总体上维持了较为完整的框架，还是比较清晰的。
如果有时间可能补一个 1.5 期，用来介绍一下循环群，Sylow 定理及一些简单的内容，并且添加一些关于群结构描述的部分，但是现在先把这些写完吧。
几类可解群和一些判定定理
可以表明，所有阶为 $p^nq^m$，其中 $p, q$ 为素数都为可解群（Burnside 定理）。这个定理的证明在后面我如果写群表示的专题可能会以表示论的方式给出，纯粹群论的方法处理它是较为困难的。另外，甚至可以表明，所有阶为奇数的群都为可解群（Feit-Thompson 定理），这个定理的证明有些复杂，也不在此详述。
换位子群（commutator group）的内容在上一次课的注释中已经叙述，单群（simple group） 的定义为非平凡的，没有非平凡正规子群的群。我们可以很容易证明，交换单群同构于循环群 $C_p$，其中 $p$ 为素数；若 $G$ 为非交换的单群，则 $G’ = G$，$G$ 是一个不可解的群。
于是我们发现，对于非交换单群 $G$，它的阶中至少有三个素因子（因为 Burnside 定理），而且其中有一个是 2（因为 Feit-Thompson 定理），所以可以表明，交错群 $A_5$ 是阶数最低的非交换单群。
可以表明，所有 $n \geqslant 5$ 的交错群 $A_n$ 都是非交换的单群，这预示着 $n \geqslant 5$ 的 $S_n$ 都是不可解的。
这种对有限单群结构的考量使得我们走向了有限单群分类定理，在下面我们对一些结论进行简要叙述。
有限单群分类定理
可以表明，所有有限单群都等价于一下四类群中的一种：
- 三类无限群列，素数阶循环群、五阶及以上的交错群和李型单群；
- 26 个散在单群；
- （可以被归在散在单群或李型单群中的）$^2F_4(2)’$，有时被称为 Tits 群。
这些群中，素数阶循环群和五阶及以上的交错群在前面已经叙述过了，最早构造出的形式为 $PSL(2, F)$（有少数例外），是在 1830 年左右由 Galois 给出的。这给出了一系列通过“商掉中心”的方法构造出来的经典李型单群。
散在单群（sporadic group）的描述比较复杂，其中最著名的是 Fischer-Griess 魔群（Monster group）和子魔群（baby Monster group），具备非常惊人的阶数；另外的群中有 18 个是魔群或子魔群的子群，例如 Mathieu 群（$M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}$，它们都是 $M_{24}$ 的子群）；剩下六个被戏称为贱民（pariahs），主要分布在 Janko 群中（$J_1, J_3, J_4$）和 Lyons 群、O’Nan 群、Rudvalis 群，它们中最小的是 $J_1$，阶为 175560。
它们的大致关系可以参见 Wikipedia，如下图：
Jordan-Hölder 定理
回到单群的问题，我们可以证明 Jordan-Hölder 定理，如果 $G$ 有一个群塔使得 $G_i / G_{i+1}$ 为单群，那么这个群塔在等价意义上是唯一的。同样不难表明，任意一个有限群都存在一个有限长的正规群塔使得 $G_i / G_{i+1}$ 为单群，那么它在等价意义上是唯一的。
这些定理的证明参见 Algebra S. Lang，在这里不再赘述。
半直积
上次课已经提到了半直积，这次我们将其规范化一下。若 $N \triangleleft G, H \subset G, N \cap H = \{e\}, NH=G$，则称 $G$ 为 $N$ 和 $H$ 的半直积。
我们还可以给出一个等价描述。设存在正合列：
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> H @>>> G @>\varphi>> K @>>> 1
\end{CD}
并存在一个同态 $\psi: K \to G$ 使得 $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_K$，则称 $G$ 为 $N$ 和 $K$ 的半直积。
用一张图可以比较清晰地表明这里面的关系：
在作业题中还给出了另外一种描述，参考 Algebra S. Lang p76 Ex. 12
范畴
接下来才是这节课的正题。我们称一个范畴 $\mathcal{C}$ 为带有以下资料的东西：一些对象 $\mathsf{Ob}(\mathcal{C})$ 与任意两对象 $A, B \in \mathsf{Ob}(\mathcal{C})$ 之间的态射 $\mathrm{Mor}_\mathcal C(A, B)$。其中态射间可以作复合运算，且满足以下三条公理：
- $\mathrm{Mor}_\mathcal C(A, B)$ 与 $\mathrm{Mor}_\mathcal C(A’, B’)$ 交为空集，除非 $A = A’ \wedge B = B’$；
- 态射之间满足结合律，即若存在
\begin{CD}
A @>f>> B @>g>> C @>h>> D
\end{CD}
则 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$； - 在 $\mathrm{Mor}_\mathcal C(A, A)$ 中存在单位态射 $\mathrm{id}_A$，满足：
\begin{CD}
A @>\text{id}_A>> A @>f>> B
\end{CD}
中 $f\circ \mathrm{id}_A = f$，
\begin{CD}
B @>g>> A @>\text{id}_A>> A
\end{CD}
中 $\mathrm{id}_A \circ g = g$。
接下来我们给出一（da）些（liang）范畴的例子。一个最普通的范畴是 $\mathsf{Set}$，其中的对象为集合，态射为映射；同理，还有 $\mathsf{Mon}$ 和 $\mathsf{Grp}$，其对象分别为幺半群和群，态射分别为幺半群同态和群同态；$\mathcal{C}^0$ 的对象为 $\mathbb{R}$ 上的开区间，态射为连续映射；$\mathcal{C}^{\infty}$ 的对象为光滑流形，态射为光滑映射。
$\mathsf{Ab}$ 的对象为交换群，态射为群同态。注意这里有一个比较有趣的结构，考虑下图：
不能画斜线和多个箭头好烦，AMScd 就是个垃圾
注意到，如果取 $f + f’$ 为对应元素在交换群 $B$ 中的加法，$\mathrm{Mor}(A, B)$ 有一个