量子编程（Maksim Dimitrijev） Lecture 2

在上一次讲座中，简单地介绍了量子电路的基本概念和量子编程的方法。这一次课将分析几个量子电路的例子和代码实现，包括：

• 2 位半加器
• 量子近似优化算法（Quantum Approximation Optimization Algorithm, QAOA），以 Ising 问题为例
• Grover 搜索

2 位半加器的实现

2 位半加器的功能如下：

$$|q_0q_1\rangle|q_2q_3\rangle \rightarrow |q_0q_1\rangle|q_0q_1 + q_2q_3\rangle$$

为了更好地理解其功能，我们给出几个例子：

$$\begin{array}{**lr**} |2\rangle|1\rangle \rightarrow |2\rangle|3\rangle\newline |2\rangle \dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \rightarrow |2\rangle \dfrac{|2\rangle + |3\rangle}{\sqrt{2}}\newline \dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \rightarrow \dfrac{|0\rangle + |1\rangle + |1\rangle + |2\rangle}{2} \end{array}$$

尤其值得关注的是第二行例子，我们似乎“并行地”做了加法，这种并行性有赖于量子电路的线性性，即对于电路 $U$，有

$$U(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) = U|\psi_1\rangle + U|\psi_2\rangle$$

其电路实现已经在上一讲的例子中给出了，如下图：

从左往右，第一部分为初始化模块，这个模块通过一系列门电路将全 0 的初始值转化为我们所需要的值。

第二部分为量子傅里叶变换（Quantum Fourier Transform, QFT）模块，这个模块将信息从寄存器值转移到指数上来。我们不妨首先计算一下作用于 $q_2$ 和 $q_3$ 上的变换矩阵：

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\newline 1&-1&1&-1\newline 1&i&-1&-i\newline 1&-i&-1&i \end{bmatrix}$$

未完待续