抽象代数续论笔记 01 群、幺半群、可解群以及一些例子
因为这门课是续论课，所以对于很多基本的概念性内容都报以回顾性的态度，在这里也同样会过得很快，简单的证明也会略过。第一次课回顾了群的一些基本概念，给出了一些例子；定义了可解群且给出了一个矩阵群中的例子。
这门课的思路比较混乱，因为是一门拾遗类型的课程，主要是起到衔接的作用，因此这里的笔记也不算太有条理。
基本定义和例子
我们称满足以下三条公理的带有二元运算的集合 (G, \cdot) 为一个群：
- 二元运算满足结合律；
- 存在单位元；
- 每个元素都存在逆元；
如果只满足上面两条公理，则称其为幺半群（monoid）。容易表明，幺半群中的单位元具备唯一性。根据二元运算是否满足交换律，我们将幺半群分为交换的与非交换的；如果幺半群 $M$ 的一个子集 $S$ 含有单位元并对二元运算封闭，则称其为一个子幺半群（submonoid），子群的定义与之类似。
很容易给出子幺半群的一些例子，例如，线性空间中 $V$ 上的自同构群 $\mathrm{Aut}(V)$ （也记作一般线性群 $GL(V)$）是其自同态幺半群 $\mathrm{End}(V)$ 的一个子幺半群。
我们称幺半群间的映射 $\varphi: M_1 \to M_2$ 为一个幺半群同态，若其保乘法、保单位元；若 $M_1$ 和 $M_2$ 都是群，也将其称为一个群同态。
一个例子是域 $K$ 上的线性空间 $V$ 的自同态群 $\mathrm{End}V$ 到视作幺半群的 $(K, \cdot)$ 的一个幺半群同态行列式运算 $\det$。注意，这里的 $(K, \cdot)$ 不是群，因为 $0$ 没有乘法逆元。
我们可以定义一个群结构 $M(S, G)$，其元素是从非空集合 $S$ 到群 $G$ 的映射全体，对于任意 $f, g \in M(S, G)$，我们定义 $(fg)(a) = f(a)g(a)$，称其为 pointwise multiplication。当然，它的乘法单位元就是将 $S$ 中的所有元素映到 $G$ 的单位元，映射 $f$ 的逆元定义为 $(f^{-1})(a) = (f(a))^{-1}$。
这个定义是为了什么引入的来着？
置换群也是一类很常见的群，设 $S$ 为一有限集合，记 $\mathrm{Perm}(S) = \{f: S \to S \vert f 是双射\}$。其中的复合、单位元和逆元的定义都是简单的。很显然，若 $G$ 为一群，$\mathrm{Aut} (G)$ 是 $\mathrm{Perm} (G)$ 的子群。
对域 $K$ 上的线性空间 $V$，我们显然可以定义一个群同构 $GL(n, K) \to GL(V)$，其中 $n = \dim_KV$。
我们可以建立正多边形的自同构，设 $A_n$ 为正 $n$ 边形，我们记 $\mathrm{Aut}(A_n) = \{\varphi \vert \varphi(A_n) = A_n, \varphi 为等距映射\}$，我们称这样的群为二面体群，记作 $D_{2n}$，有些书也会记作 $D_n$。任何 $n \leqslant 3$ 的二面体群 $D_{n}$ 都可表成 $\langle \sigma \tau \vert \sigma^n = 1, \tau^2 = 1, \tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1}\rangle$ 的形式，称为 $n$ 阶二面体群。
类似地我们可以定义 $\mathbb{R}^2$ 上的等距同构，对于一个距离 $d$，我们记 $\mathrm{Aut}(\mathbb{R^2}, d)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的等距同构全体。我们也已经知道，它可以被写成旋转群 $O(\mathbb R^2)$ 和平移群 $T(\mathbb R^2)$ 的半直积（semi-direct product）。
下一个例子是关于多项式环 $K[x, y]$ 上的自同构群。设 $\varphi: K[x, y] \to K[x, y]$ 是一个线性保持乘法的双射，将 $x$ 映到 $f(x, y)$, 将 $y$ 映到 $g(x, y)$，则一个将 $h(x, y)$ 映到 $h(f, g)$ 的映射是一个自同态。它是否是一个自同构是一个开放问题，一般称为 Jacobi 猜想或者 Keller 问题。
很容易定义群的直积的概念，给定群 $G, H$，称它们的直积为一个笛卡尔积 $G \times H$，其上的二元运算定义为每一个分量分别做运算。群的生成元的定义在此也不再赘述。
接下来考虑一个很常见的群，四元数群。其中有八个元素 $\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$。其乘法定义为：
它是八阶群中的一个，容易证明八阶群一共有五个，分别是 $C_8, C_2 \times C_4, C_2^3, D_8$ 和四元数群。
四元数群在 $\mathbb R$ 上张成一个四维线性空间，其中 $1, i, j, k$ 构成了标准正交基，四元数群是其中单位球面群的子群。其上的实内积定义为 $(a, b) = \Re(a\bar b)$，由此内积定义的范数是可乘的。我们在后面还会再次碰到四元数群。
我们定义一个群 $G$ 的内自同构群 $\mathrm{Inn}(G)$。首先定义 $G$ 上关于元素 $a$ 的共轭，记作 $C_a: G \to G$，它将每个元素 $g$ 映到 $aga^{-1}$。容易证明，$\varphi: G \to \mathrm{Aut}(G)$ 为一个同态，记 $\mathrm{Inn}(G) = \mathrm{Im}(G)$，不难证明其为 $\mathrm{Aut}(G)$ 的正规子群。同样容易表明，如果 $G$ 是交换群，那么 $\mathrm{Inn}(G)$ 为平凡群。
自同态的概念不再赘述，可以观察到以下结果：对于有理数加群 $\mathbb{Q}$，把 $a$ 映到 $na$ 的映射 $\varphi_n$ 是一个自同构，而对于整数加群 $\mathbb Z$，这只是一个自同态。
考虑投影 $P_1: G_1 \times G_2 \to G_1$ 和 $P_2: G_1 \times G_2 \to G_2$，很显然，它们都是满射，而且它们的核 $\mathrm{Ker} P_i \simeq G_{2-i}$。
在这里可以补叙 Goursat 定理，它出现在了作业题中（Algebra, S. Lang, p75 Ex. 5）
设 $G$，$G’$ 为群，$H$ 为 $G \times G’$ 的子群，且满足投影 $P_1: H \to G$ 和 $P_2: H \to G’$ 都是满射。设 $N = \mathrm{Ker}(P_2), N’ = \mathrm{Ker}(P_1)$，容易表明，$N, N’$ 分别同构于 $G, G’$ 的一个正规子群，则 $H$ 在 $G/N \times G’/N’$ 中的图像是 $G/N$ 到 $G’/N’$ 的一个同构。
接下来我们给出一个类似于半直积的构造的命题：设 $G$ 为一群，$H, K$ 为其子群，$H \cap K = \{e\}$，$HK = G$，且 $\forall x \in H, y \in K, xy=yx$，则 $\varphi: H \times K \to G$，$\varphi(x, y) = xy$ 为一个同构。
首先证明它是一个群同态。很显然：
\begin{align}
\varphi(x_1, y_1)\varphi(x_2, y_2) = x_1y_1x_2y_2 =x_1x_2y_1y_2 =\varphi(x_1x_2, y_1y_2)
\end{align}
这里利用了上面给出的可交换性；
它是满射直接由 $HK=G$ 得出，然后表明它是单射，考虑它的核中的元素 $(x, y)$：
\begin{align}
\varphi(x, y) = xy = e \Rightarrow x=y^{-1} \in H \cap K \Rightarrow x=y=e \Rightarrow \mathrm{Ker}(\varphi) = {e}
\end{align}
由此，$\varphi$ 是一个满射。
有一个看起来比较优雅的推论：设 $H \triangleleft G, K \triangleleft G, H \cap K = \{e\}$，则 $H \times K \to G$ 为一个嵌入。
如上我们只要证明交换性：
\begin{align}
hkh^{-1}k^{-1} = (hkh^{-1})k^{-1} = h(kh^{-1}k^{-1}) \in H \cap K \Rightarrow hkh^{-1}k^{-1} = e \Rightarrow hk=kh
\end{align}
这个证明很自然地体现了一个问题，即 $aba^{-1}b^{-1}$ 事实上刻画了一个群的“交换性”。延续这个思路可以引入换位子群（或导群）的概念，记 $G’ = \{aba^{-1}b^{-1} \mid a, b \in G\}$。
首先，可以表明它是群 $G$ 的一个正规子群：
\begin{align}
\forall a \in G’, g \in G, gag^{-1} = (gag^{-1}a^{-1})a \in G’
\end{align}
接下来，很容易表明，$G/G’$ 是一个交换群：
\begin{align}
\forall gG’, hG’ \in G/G’, (hg)^{-1}(gh) = g^{-1}h^{-1}gh \in G’ \Rightarrow ghG’ = hgG’
\end{align}
最后，读者当不难自证，设 $N \triangleleft G$，若 $G/N$ 交换，则 $G’ \subseteq N$。
这个群在表示论和 Galois 理论等方面都有应用，在此稍作叙述。
接下来对于陪集、商群、指标和阶的定义都直接略去，Lagrange 定理读者应当也已经熟悉。正规子群的交和乘仍然是正规子群，这个结论也不再证明。
设 $S$ 为群 $G$ 的一个子集。称 $N_G(S) = \{g \in G \mid gSg^{-1} = S\}$ 为群 $G$ 对于集合 $S$ 的正规化子（Normalizer）。不难证明，$\langle S \rangle \triangleleft N_G(S) \leqslant G$。称 $C_G(S) = \{g \in G \mid ga = ag, \forall a \in S\}$ 为群 $G$ 对集合 $S$ 的中心化子，同样不难证明，$C_G(S) \leqslant G$。称 $C_G(G)$ 为群的中心（center）。
称 $x$ 和 $y$ 关于 $H$ 同余（congruent），若 $xH = yH$，记作 $x \equiv y\ (\mathrm{mod}\ H)$。
我们称如下群与态射的序列为一个正合列（exact sequence）
\begin{align}
G_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} G_2 \stackrel{f_2}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} G_n
\end{align}
若 $\forall 1 < i < n-2, \mathrm{Im} f_i = \mathrm{Ker} f_{i+1}$。一个形如
的正合列被称为一个短正合列。
事实上，我们会发现，在一个范畴中的对象有：
是一种非常常见的现象。当然，在 $\mathsf{Grp}$ 中，由于只有 $\mathrm{Im}\ f \triangleleft B$ 才能考虑 $\mathrm{Coker}\ f$，所以在这里它不完全成立。
正合列是同调代数研究的中心问题。
一个很显然的短正合列是这样的：
我们应当已经很熟悉群的同态基本定理，设 $f: G \to G’$ 为一群同态，$N \triangleleft G$，则存在 $f: G/N \to G’$ 使得 $\varphi \circ f = f$，其中 $\varphi$ 为典范同态。它的一个典型应用如下图：
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> H @>>> G @>>> G/H @>>> 1\\
@. @VVV @VVV @VVV @.\\
1 @>>> H/K @>>> G/K @>>> G/H @>>> 1
\end{CD}
其中 $K \triangleleft H \triangleleft G$，每行都是一个短正合列。
其他同构定理在此不再叙述，可参考 Algebra, S. Lang p16 起的内容。
顺便给出两个命题：正规子群在群同态下的原像是正规的；正规子群在满同态下的像是正规的，这其实是上面的 remark 中 cokernel 存在性问题的另一种描述。
群塔和可解群
我们称以下一个群序列为一个群塔（tower of groups）：
称其为一个正规群塔，若 $G_i \triangleright G_{i+1}$，称其为一个交换群塔，若它在正规的同时还满足 $G_i/G_{i+1}$ 是交换的。同理可以定义循环群塔。
若 $G$ 为一个群，存在一个交换群塔：
则称 $G$ 是可解群（solvable group）。可以证明，若 $G$ 可解，则它的子群和商群均可解；若 $H \triangleleft G$，$G/H$ 可解，则 $G$ 可解。
接下来我们在矩阵群中给出可解群的一个例子。设 $T=T(n, K)$ 为 $n$ 维方阵在域 $K$ 的上三角矩阵群，$D=D(n, K)$ 为域 $K$ 上对角线不为 $0$ 的 $n$ 维对角方阵群，$N(n, K)$ 维对角线下方及对角线上为 $0$ 的幂零矩阵的加法群。则可以很容易构造一个从 $T(n, K)$ 到 $D(n, K)$ 的满同态，即只取其对角线上的元素。这个群同态的核显然就是 $U = I + N$，其中 $I$ 为单位矩阵。
记 $N^r(n, K)$ 为幂零矩阵的 $r$ 次方的加法群，$U_r = I + N^r(n, K)$，注意到 $U_i$ 构成了 $U$ 的一个正规群塔，而 $U$ 是 $T$ 的正规子群，$T/U=D$ 为交换群，所以有交换群塔：
故 $T$ 为可解群。